数学ガールを読むぞぉ 4 - 無限級数

4章の前半戦。スゲー重要ポイントなので、キッチリやる。

初項1,公比xの0項からn項までの等比数列は、

$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$

nを無限大まで伸ばす。

x	< 1の時、n->∞にすると、

$\lim_{n\to\infty} x^n = 0$

なので、

$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$

となって、等比数列の無限級数が得られた。

初項をaとしたときは、

$a + ax + ax^2 + ax^3 + \cdots = \frac{a}{1 - x}$

となる。

実例を。

以前話題になった0.999... - Wikipedia

循環小数 0.999...は、まったく完全に寸分の違いもなく 1 に等しい。

という話題。

0.999... = 1を無限級数を用いて求めてみる。

0.999....は、初項0.9,公比0.1の無限等比数列の和として定義出来るので、

(/ 0.9 (- 1 0.1)) ; 1.0

循環小数 0.999...は、まったく完全に寸分の違いもなく 1 になった。

もう一個。

同様に,0.333...でやると、

(/ 0.3 (- 1 0.1)) ; 0.3333333333333333

10倍して、整数に直してから割ると、

(/ (inexact->exact (* 10 0.3))
   (inexact->exact (* 10 (- 1 0.1)))) ; 1/3

無限のように思えた循環小数を、分数に直すことが出来た。

無限を使って無限を有限に直せる。これはとんでもなく凄い発見だと思う。