数学ガールを読むぞぉ 3 - ωのワルツ

三角関数の復習が終わったので、三章に入る。

前読んだときははサッパリわからなかったんだけど、全然すんなり入ってくる。三角関数の復習して良かったかも。

写経中。

・・・

x^3 = 1はわかった。んじゃ、x^4 = 1はどうなる？

x^4 = 1
(x^2 + 1)(x^2 - 1) = 0
(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) = 0

xの解は、1,-1,i

おぉ。

・・・

なんか掴めてきたので、ド・モアブルの定理をSchemeにしてみる。

dを(cos θ + i sin θ)^n
wをcos n θ + i sin n θ

とする。

(define i +1i)

(define (d n)
  (map (lambda (m)
         (expt (+ (cos (/ (* pi 2) n))
                  (* i (sin (/ (* pi 2) n))))
               m))
       (iota 10)))

(define (w n)
  (map (lambda (m)
         (+ (cos (* m (/ (* pi 2) n)))
            (* i (sin (* m (/ (* pi 2) n))))))
       (iota 10)))

3分点でやってみると。

(d 3)
; (1 -0.4999999999999998+0.8660254037844387i -0.5000000000000003-0.8660254037844384i
;  0.9999999999999998-6.106226635438361e-16i -0.4999999999999992+0.8660254037844389i -0.5000000000000009-0.8660254037844379i
;  0.9999999999999996-1.221245327087672e-15i -0.4999999999999985+0.8660254037844389i -0.5000000000000012-0.8660254037844376i
;  0.9999999999999996-1.7763568394002505e-15i)
(w 3)
; (1 -0.4999999999999998+0.8660254037844387i -0.5000000000000004-0.8660254037844384i
;  1.0-2.4492935982947064e-16i -0.4999999999999992+0.8660254037844392i -0.5000000000000013-0.8660254037844378i
;  1.0-4.898587196589413e-16i -0.499999999999999+0.8660254037844393i -0.5000000000000016-0.8660254037844377i
;  1.0-7.347880794884119e-16i)

残念ながら誤差があるので、正確に値が出てこないのが悲しいけれど、ワルツを踊っているのが確認できる。4分点でも1,i,-1,-iとワルツを踊っているのが確認出来た。

「単位円上でθの回転をn回繰り返すのは、nθ回転に等しい」

ということが実感に変わった気がする。