0.999...=1がようやく理解出来た

図書館で無限の不思議という本を借りてきた。

数々の童話・伝説・落語に登場し、数々の数学者・哲学者を悩ませてきた「無限」を歴史と共に追って行く本。おもろすぎる。

半分くらいまで読んでようやく、0.999... = 1を理解したのでエントリしとく。

1枚の紙の面積を1とする。

半分に切る。

片方を半分に切る。

そのまた片方を半分に。

・・・永久に続ける。

永久は無理なので、このへんで中断して。

紙片の面積の合計は？

どんだけ切っても、紙片の面積の合計は変わらない。

1 = 1/2 + 1/2
1 = 1/2 + 1/4 + 1/4
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

2進数で表すと、0.111... = 1となる。

紙を9/10と1/10に分割していけば、

1 = 9/10 + 1/10
1 = 9/10 + 9/100 + 1/100
1 = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

0.999... = 1

なんだ。たったそれだけ。

「紙片を切ってる」という状態を「...」と表す。

なんか足りない気がするのは、...という状態を含んでいないからだと思われる。

状態の登場によって、無限を表現することが可能となった。

ようやく無限(小)という魔物を手に入れた気がする。

ところで無限大ってなんだろう・・・

状態なんだろうけど、どんな状態？